Elementi di analisi

Sia:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty } { 4+2x+4x^2-x^3 \over 2-5x^3} \]

Sostituendo la tendenza si può osservare che di si trova di fronte a una forma di indecisione del tipo infito fratto infinito:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty } { 4+2x+4x^2-x^3 \over 2-5x^3} = {\infty \over \infty}\]

Dato che la tendenza del limie è infinito e la funzione è una funzione fratta, il metodo più rapido per calcolare il valore del limite è utilizzare lo stimatore asintotico. Lo stimatore asintotico indica che, per una data tendenza, due funzioni hanno lo stesso limite; nel caso di polinomi fratti lo stimatore asintotico ci indicherà che un polinomio fratto si comporterà come il rapporto dei gradi massimi di numeratore e denominatore. Pertanto:

\[\lim_{x \rightarrow \infty } { 4+2x+4x^2-x^3 \over 2-5x^3} \sim \lim_{x \rightarrow \infty } { -x^3 \over -5x^3} \]

Da cui, dopo aver semplificato numeratore e denominatore:

\[\lim_{x \rightarrow \infty } { -x^3 \over -5x^3} = {-1 \over -5} = {1 \over 5}\]