Elementi di analisi
Sia:
\[ \lim_{x \rightarrow \infty } { 4+2x+4x^2-x^3 \over 2-5x^3} \]
Sostituendo la tendenza si può osservare che di si trova di fronte a una forma di indecisione del tipo infito fratto infinito:
\[ \lim_{x \rightarrow \infty } { 4+2x+4x^2-x^3 \over 2-5x^3} = {\infty \over \infty}\]
Dato che la tendenza del limie è infinito e la funzione è una funzione fratta, il metodo più rapido per calcolare il valore del limite è utilizzare lo stimatore asintotico. Lo stimatore asintotico indica che, per una data tendenza, due funzioni hanno lo stesso limite; nel caso di polinomi fratti lo stimatore asintotico ci indicherà che un polinomio fratto si comporterà come il rapporto dei gradi massimi di numeratore e denominatore. Pertanto:
\[\lim_{x \rightarrow \infty } { 4+2x+4x^2-x^3 \over 2-5x^3} \sim \lim_{x \rightarrow \infty } { -x^3 \over -5x^3} \]
Da cui, dopo aver semplificato numeratore e denominatore:
\[\lim_{x \rightarrow \infty } { -x^3 \over -5x^3} = {-1 \over -5} = {1 \over 5}\]